LÓGICA MATEMÁTICA y TEORÍA DE CONJUNTOS, ELEMENTALES

INTRODUCCIÓN

Es de mi interés publicar un ensayo escrito el año 1980 acerca de Lógica Lúdica (Juegos en Lógica y Teoría de Conjuntos), pero para ello es oportuno introducir de la manera más simple y sucinta posible los elementos y contenidos suficientes para que un lector no especializado tanto en Lógica Simbólica como en Matemática, lo pueda leer y comprender con la menor dificultad . Posterior a ese escrito publicaré otro acerca del encuentro que pienso se da entre Matemática y Poesía y que me llevó a cultivar esta última, lo que se dio fundamentalmente por mi cercanía con la Lógica Matemática.

I. NOCIONES SOBRE LÓGICA

Intuitivamente se entenderá por una proposición, una oración declarativa, la que puede ser clasificada como verdadera o falsa (las oraciones gramaticales pueden ser declarativas, imperativas, interrogativas y exclamativas; sólo a las primeras se les puede asignar un valor de verdad: verdadera o falsa). Ejemplos de estas oraciones son, hoy llueve, x = 2, (oraciones que se estudian en el Cálculo Proposicional), Algún hombre es inmortal, Todos los hombres son mortales (Oraciones del Cálculo de Predicado), etc.

Lenguajes Formalizados.

Todas las disciplinas del conocimiento usan un lenguaje artificial para su estudio y desarrollo. Las matemáticas además de tener un lenguaje propio, adopta el de la lógica formal. El lenguaje mismo de las matemáticas es de todos conocidos (el de la aritmética y del álgebra) al menos, hasta donde se ha estudiado en la enseñanza media. Por otro lado, también la lógica al igual que cualquier disciplina del conocimiento, necesita de un lenguaje formal con reglas de formación precisas con las que se pueden construir proposiciones y a partir de éstas construir nuevas y que además con ellas también se puedan trasladar oraciones desde y hacia el español.

1. CÁLCULO PROPOSICIONAL

Lenguaje del Cálculo Proposicional.

Supongamos que tenemos dado un número infinito de objetos a los cuales denominaremos símbolos y a cada uno de éstos les daremos nombres, los que clasificaremos:

Símbolos Lógicos: Símbolos que permiten construir nuevas oraciones a partir de oraciones dadas. Éstos en la transcripción desde y hacia el español juegan siempre el mismo rol. Los cinco últimos se denominan conectivos:

( : Paréntesis izquierdo
) : Paréntesis derecho
~ : símbolo de negación
Λ : símbolo de conjunción
v : símbolo de disyunción
→: símbolo condicional (se interpreta también como "implica" o como "la condición necesaria")
↔ : símbolo bicondicional o de equivalencia (se interpreta también como "si y solo si" o como "la condición necesaria y suficiente")

Símbolos Oracionales: Se designan por letras minúsculas tales como p, q, r, s, ... o por letras mayúsculas P,Q,R,S,...(éstas letras también pueden llevar subíndices tales como A1,A2, A3, ... , An, ...), o por letras minúsculas del alfabeto griego α, β,γ,δ,ε, etc. Éstos símbolos oracionales son llamados parámetros, ya que su transcripción no es fija, por ejemplo, la proposición "A1" puede significar "Ana es bonita", como también, entre muchas otras, podría ser "el día está nublado".

1.1.2 Expresiones: Una expresión es una sucesión infinita de símbolos y se forman con la concatenación de ellos.

Ejemplos:

→A1 ↔ A 2,

A1 Λ (A 2 →A3)

Se designaran indistintamente por las letras griegas α, β,γ,δ,ε,... , o por letras del alfabeto español, las que podrán ser mayúsculas o minúsculas, con o sin subíndices.

Expresiones bien formadas (e.b.f.).

Definición.

(i) Cada símbolo oracional es una e.b.f.
(ii) Si α y β son e.b.f, entonces lo son (~α), (α v β), (α Λ β), (α → β),(α ↔ β).
(iii) Ninguna expresión es e.b.f. , si no satisface (i) y (ii).

Ejemplo: Juan tiene dinero, entonces va al cine: (α → β), donde podemos interpretar "Juan tiene dinero" como "α" y "va al cine" como "β".

Puesto que una e.b.f. puede representar una oración declarativa (la que está escrita en un lenguaje simbólico), podemos dar una regla que nos permita decir cuando ella es verdadera (V) o falsa (F):

Tabla 1.

Nota: V y F se denominan valores de verdad.

De la tabla de doble entrada, en su tercera línea o fila se desprende por ejemplo que (α → β) es falsa si y solo si α tiene el valor de verdad V y β tiene el valor de verdad F (ver la intersección de la tercera fila con la cuarta columna).

Tautologías: Una oración es una tautología, si es verdadera para cualquier valor de verdad que se le asigne a sus símbolos oracionales componentes.

Contradicción: Una oración es contradictoria, si ésta es falsa para cualquier valor de verdad que se le asigne a sus símbolos oracionales componentes.

Observaciones:
1. Se dice que una oración α implica tautológicamente una oración β si y sólo si la oración condicional (α → β) es una tautología, donde "α" se llama el antecedente y "β" el consecuente.

Ejemplos:

i. A→(AVB)
ii. A→((AΛB)VA)
iii. ~A →(A→A)
iv. p→p
v. q→(qΛq)

2. Dos oraciones "α" y "β" son equivalentes si y sólo si se implican tautológicamente en forma mutua, es decir si y sólo si (α → β) y ( β→ α) son ambas tautologías, lo que se anota como (α ↔ β).
Ejemplos:

i. (A ↔ A)
ii) ((A→B) ↔ (B→A))

3. Los paréntesis se usan de un modo natural, que resulta familiar del álgebra elemental, para indicar cual es el conectivo dominante. Si se adopta una convención con respecto de la dominancia relativa de los diversos conectivos, se obtendrá una considerable reducción de los paréntesis usados en la práctica. La convención más conveniente es aquella en que los conectivos "→", " ↔ ", dominan a "V" y a "Λ", de este modo puede escribirse p→(qΛs), como p→qΛs.

4. Puesto que cada símbolo oracional puede tomar dos valores (V o F ), el número de combinaciones de una e.b.f. que contenga n símbolos oracionales será de 2^n (dos elevado a la potencia n de dos). Así por ejemplo si la e.b.f. tiene tres símbolos oracionales, se tendrán 2^3 combinaciones, es decir 8 (2^3 = 8 ), éstas son:

Tabla 2.

5. La negación de una e.b.f. deberá estar encerrada entre paréntesis, a menos que no produzca confusión, así por ejemplo:

Dada la oración, “Es falso que Juan y María se amen”, si hacemos:

Juan ama a María: p
María ama a Juan: q

Tenemos que su transcripción será ~( p Λ q )

Hay Varios procedimientos sistemáticos que nos ilustran cuando una expresión bien formada es o no una tautología, de ellos sólo se expondrá uno y se hará a través de un ejemplo.

Ejemplo: Se demostrará que p V q → p no es una tautología, cuando p y q son símbolos oracionales distintos.

Se necesitarán 2^2 = 4 líneas o filas para escribir los valores de verdad V o F, aparte de aquella en que se pondrán las oraciones p, q, p V q , p V q → p .

Así se tendrá la siguiente tabla:

Tabla 3.








En esta tabla se obtiene la tercera columna deduciéndola de las dos primeras mediante el uso de la tabla de disyunción (α v β incluida en la quinta columna de la tabla 1) y la columna final se deduce de las columnas primera y tercera aplicando la regla del condicional o implicación, incluida en la séptima columna también de la tabla 1.

Puesto que en la tercera línea de la cuarta columna aparece la letra “F” que corresponde al valor falso, se concluye que la oración “p V q → p” no es tautología, pues esta tercera línea demuestra que si “p”es falsa y “q” es verdadera, entonces “p V q → p” es falsa.

Acá es bueno destacar que una e.b.f. es una tautología sí y solo sí todas las anotaciones de la columna final son "V" (verdadera). Basta con que aparezca una sola vez la letra "F" para garantizar que la e.b.f. que se analiza no es una tautología (en caso que todas sean "V", sí es una tautología). Este método se llama Tablas de Verdad Derivadas.

Algunas tautologías importantes y de uso frecuente en la Matemática son:

i) ~(~p) ↔ p (Principio de doble negación).
ii) p V ~p (Principio del tercer excluido).
iii) ~(p → q) ↔ (p Λ ~q) (Negación de una condición necesaria)
iv) ~(p Λ ~q) ↔ (p → q) (Principio de Reducción al absurdo).
v) (~ q → ~p) ↔ (p → q) (Principio o ley de la contrapositiva).

Observación: Un ejercicio interesante para el lector, es verificar los principios anteriores usando las Tablas de Verdad Derivadas.

2. CÁLCULO ELEMENTAL DE PREDICADOS (LENGUAJES DE PRIMER ORDEN)

Si se tiene en el lenguaje materno, en este caso el español, oraciones como "Sócrates es mortal", éstas se pueden formalizar como Hs, donde H es un símbolo de predicado que transcribe la propiedad de ser hombre y s a Sócrates. Es obvio que este tipo de oraciones no se analizaron anteriormente, ya que este tipo forma parte de los lenguajes de primer orden.

Se supondrá de aquí en adelante que se tienen infinitos objetos, los que se llamarán símbolos y que se clasificarán como sigue:

Símbolos Lógicos

i) Paréntesis : ( , ) Izquierdo y derecho
ii) Conectivos oracionales : ~, V, Λ , →, ↔
iii) Variables, con o sin subíndices : t, u, v, w, w, x, y, z
iv) Símbolo de igualdad : =

Nota: Las variables son simplemente letras del alfabeto que se utilizan para facilitar la expresión de generalización.

Parámetros

i) Símbolos de cuantificadores : " (cuantificador universal)
: $ (cuantificador existencial)
ii) Símbolos de predicado : Un conjunto de símbolos llamados símbolos de predicado n-arios A, B, C, ... (con o sin subíndices) .
iii) Símbolos de constantes : a, b , c, ...s

iv) Símbolos de funciones n-arias : f_{1 ,} f_2, f_{3, … ,} f_n

Nota: ´

De aquí en adelante se supondrá que hay un universo del discurso, que informalmente se entenderá como el conjunto en el que están todos los objetos a los que hace referencia una oración en particular.

Gramaticalmente un predicado es la palabra o palabras en una oración o cláusula que expresa lo que se dice del sujeto. En lógica se confiere a los predicados una función más amplia que en el uso común; por ejemplo,
todo hombre es un animal,

se transcribe como:

"x ( Hx → Ax )

donde "x" son los objetos o individuos del universo del discurso, "H" es la cualidad de ser hombre y "A" la de ser animal.

Nota: Usando el párrafo anterior, una interpretación, muy formal, de la oración anterior (*), desde el lenguaje simbólico al lenguaje materno sería: "Todos los individuos que son son hombres, son animales", lo que no sería una buena manera de expresión en español, pero gracias a la riqueza del lenguaje , una mejor interpretación debería ser "Todos los hombres son mortales".

Ejemplos de transcripciones del español al Lenguaje de 1er Orden:

1. "Es falso que exista el conjunto de todos los conjuntos".

Acá es conveniente decir que todos los elementos u objetos, o individuos a que se hace mención en la oración dada son conjuntos.

Como primera aproximación transcribimos "es falso" con el símbolo lógico "~", dejando el resto de la oración entre paréntesis:

~(existe el conjunto de todos los conjuntos)

Si transcribimos la palabra conjunto por la letra "x" (variable), quedaría en la segunda aproximación:

~ $x ( cada conjunto es elemento de x )

La que se lee casi textualmente "Es falso que exista un conjunto tal que cada conjunto es elemento de este conjunto"

Finalmente , se transcribe "todo conjunto" con el cuantificador universal acompañado de la variable "y", que también corresponde a "conjunto" y,

dejando ligadas estas dos variables por el símbolo matemático de pertenencia "є" como, "y є x",

para que integradamente quede como:

~ $ x ( " y ( y є x ) )

oración que debiera leerse como : "Es falso que exista un conjunto que tenga la propiedad de pertenecer a él".

2. Algunas manzanas son ácidas.

$x ( Mx Λ Ax ) ;

M : Manzanas, A : Ácidas

3. Todas las manzanas son sabrosas.

"x( Mx → Sx) ;

M : Manzanas, S: Sabrosas

Ejemplos de oraciones en Lenguaje de 1er Orden que son verdaderas o falsas.

1. " n ( n є IN → n + 4 > 3) ; Es Verdadera. Si se reemplaza n por cualquier número natural en "n + 4", resulta un número también natural y mayor que 3.
IN : números naturales : 1, 2, 3, 4, . . . ; > : mayor que.

2. " n ( n є IN → n > 5) ; Falsa. Basta tomar n = 3 ( 3 no es mayor que 5 ).
IN : números naturales : 1, 2, 3, 4, . . . ; > : mayor que.

3. $n ( n є IN Λ (n+4 < 6) ) Verdadero. Existe n, n = 2 tal que 2+4 = 6 y 6 n є IN

4. $n ( n є IN Λ (n+6 menor que 4)). Falso, pues no existe tal n.

Negación de oraciones

i) ~( " x ( Mx ) ) ↔ ($ x ( ~ Mx ) ).

Ejemplo.

Si en una de las tantas posibilidades, se interpreta el universo del discurso como el conjunto de todas las frutas y el predicado "M" como la propiedad que tienen los objetos de ese universo de "ser manzanas", entonces, ~($x (Mx ) ) se interpretará como la negación de la oración "Todas las frutas son manzanas", o también "Es falso que todas las frutas son manzanas". Luego, usando (i), la negación de la oración dada, usando el cuantificador existencial, será "Existe una fruta que no es manzana", lo que simbólicamente y de acuerdo a la interpretación dada es , ($x ( ~ Mx ) ).

Recíprocamente, si la oración dada es "Existe una fruta que no es manzana", por la equivalencia lógica dada en (i), se podrá decir equivalentemente, "Es falso que todas las frutas son manzanas".

ii) ~ ($ x ( Px ) ) ↔ ( ~ ( "x Px ) )

Ejemplo.

Si nuevamente escogemos el universo del discurso como el conjunto de todas las frutas, entonces ~($ x ( Mx ) ) se interpretará como la negación de la oración "Existe una fruta que es manzana", o también como, "Es falso que exista una fruta que es manzana". Por tanto y de acuerdo a (ii), su negación, usando el cuantificador universal es "Todas las frutas no son manzanas", o "Es falso que existe una fruta que es manzana", oración que simbólicamente y de acuerdo a la interpretación dada se escribe
como ( "x (~Mx ) ).

Recíprocamente, si la oración dada es "Todas las frutas no son manzanas", por la equivalencia lógica dada en (ii), se podrá decir equivalentemente, "Es falso que exista una fruta que es manzana"

CONTRAEJEMPLOS

Del párrafo anterior ya se sabe que negar una oración que está cuantificada universalmente es equivalente a negar el predicado, pero éste debe quedar cuantificado existencialmente, es decir, ~ ("x Px ) es equivalente a $ x(~Px ), o sea que decir que la oración universal es falsa es equivalente a decir que la oración existencial es verdadera para la negación de su predicado y recíprocamente. Por lo anterior, para probar que una oración universal es falsa, basta demostrar que la existencial es verdadera y, para ello es suficiente encontrar un ejemplo para esta última que la haga verdadera para este ejemplo.

El caso encontrado se llama el contraejemplo al enunciado universal. Así por ejemplo, si se tiene la oración "Todas las rosas son rojas", basta con encontrar una rosa de otro color, por ejemplo, blanca.

Así el contraejemplo a la oración dada es "una rosa blanca", probándose con ello que la oración universal es falsa.

Observación: Demostrar que una oración universal es verdadera requiere de un estudio más profundo y con mucho mayor detenimiento formal, lo que escapa al objetivo de este escrito que ha tratado de ser lo más simple posible, dentro de la medida de lo posible.

II. NOCIONES SOBRE CONJUNTOS.

Conjunto es un concepto primitivo y por consiguiente no se definirá. Intuitivamente se entenderá por conjunto cualquier tipo de entidades de cualquier clase y se representarán simbólicamente por cualquier letra del alfabeto español o griego, mayúscula o minúscula, con o sin subíndice (en este escrito se usarán letras mayúsculas del alfabeto español). Por ejemplo, el conjunto de todos los americanos, el conjunto de todos los números enteros. Sinónimos de conjuntos son, clase, colección.

Otros conceptos primitivos incluidos en estas nociones sobre conjuntos, son elemento o individuo y pertenencia; en relación a ellos se dirá que los elementos de un conjunto pertenecen a dicho conjunto y se usará el símbolo "є" para simbolizar que un elemento pertenece a él; así, si se tiene la oración "El perro pertenece al conjunto de todos los mamíferos", se escribirá,

"El perro є al conjunto de todos los mamíferos"

y si se simboliza

"perro" por "p"

y "mamíferos" por "M",

se anotará la oración de manera simbólica como

" p є M".

Si un elemento no pertenece al conjunto se anotará como,

Ï

Por otra lado, todos los elementos de un conjunto dado se anotarán entre paréntesis de llaves "{ , }", separados por comas si es que todos ellos están explícitos y son más de un individuo, ejemplo de esto último,

A = { gato, león, puma}" .

Principio de Extensionalidad.

Un conjunto queda completamente determinado cuando se dan explícitamente sus elementos, es decir si A y B son conjuntos que tienen los mismos individuos, entonces A = B y recíprocamente si A = B, entonces A y B tienen los mismos elementos. Así por ejemplo, el conjunto de los triángulos equiláteros es igual al conjunto de los tíángulos equiángulos.

Simbólicamente el Principio de Extensionalidad se escribe como,

A = B ↔ " x ( x є A ↔ x є B )

Conjunto Vacío.

A veces resulta cómodo hablar de un conjunto cuando no se sabe si este conjunto tiene elementos, por ejemplo, un especialista en genética puede desear hablar sobre el conjunto de mujeres cuyos padres, hermanos y esposos son todos hemofílicos, aún cuando no se sepa de un sólo caso de mujeres como aquellas. así es conveniente dar al término "Conjunto" un significado suficientemente amplio para que incluya conjuntos vacíos, esto es, conjuntos que carecen de individuos.

Observación. El Conjunto Vacío es único, es decir hay un sólo conjunto vacío; por eso se habla del "conjunto vacío", el cual se simboliza por Φ, y es tal que,

"x ( ~ ( x є Φ ) ) ó "x ( x Ï Φ )

Nótese que:

i) A є A es generalmente falso, por ejemplo basta tomar A = { 1 }, pues es obvio que "1є A" , pero { 1 } Ï A ,

puesto que para que { 1 } fuera elemento de A, debería darse que A = {{ 1 }}.

ii) A є B no implica que B є A . Para ello basta con observar que es obvio que A є { A , B } , pero también es obvio que { A , B } no es un elemento de A

iii) A є B Λ B є C no implica que A є C. Ejemplo de ello es, A є { A } є {{ A }} , pero A Ï {{ A }} , pues este último conjunto tiene como único elemento a { A }.

iv) A = { a, b } → " x ( x є {a , b } ↔ x є a v x = b ) ;↔

" x ( x є {a , b , c } ↔ x є a v x = b v x = c ) .

Hay una estrecha relación en decir que algo tiene una propiedad y decir que pertenece a un conjunto.

Una cosa tiene una propiedad si y solo si pertenece al conjunto de cosas que tienen la propiedad; así por ejemplo, "6 tiene la propiedad de ser un número par", equivale a decir que "6 pertenece al conjunto de los números pares"; simbólicamente en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos (es un Lenguaje de Primer Orden), la oración anterior se escribiría como,

6 є {x є IN : P(x) },

donde "6" es una constante de la Teoría de Conjuntos,

"є" es un predicado binario,

"P(x)" es el predicado unario " ser par ";

"{ , }" son paréntesis que denotan "conjunto formado por",

los dos puntos " : " es un símbolo que expresa las palabras "tal que"

y " x " es una variable en la Teoría de Conjuntos.

Nota: Generalmente, un lector o estudiante inicial de Matemática tiende a leer textualmente "6 є {x є IN : P(x) }" como: "seis pertenece al conjunto de los x que pertenecen a IN, tal que P(x)", lo que no estaría mal formalmente, pero no tendría mucho sentido, pues lo que se requiere es una interpretación de la expresión dada. Es decir no hay uso de los referentes de la Teoría de Conjuntos (referentes matemáticos) involucrados en ella, que requieren del uso de la imaginación para su interpretación. Ello es como, si del lenguaje inglés un hispano (lenguaje materno) lea textualmente "The car is black" como "de car is blak" (usando la aproximación fonética "the" como "de"), sin efectuar un cuadro mental de lo que se lee. Se puede afirmar, que el hacerlo textualmente, sin usar interpretaciones es lo que provoca mayor confusión a la hora de entender o comprender la Matemática, provocando con ello un alejamiento prematuro de la disciplina.

Observación: Acá también, P(x) puede interpretarse como la propiedad que tiene la variable " x " , que es la de "ser número par"

Inclusión.

Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es elemento de B, entonces se dirá que "A es un subconjunto de B" o que "A está incluido en B" o también que "B incluye a A como conjunto".

Lo anterior se anotará simbólicamente por,

A Í B ↔ " x ( x є A ↔ x є B )

De lo anterior se puede observar que,

i) A Í A , para cualquier conjunto A

ii) A Í B Λ A Í B → A Í C , para cualquiera que sean los conjuntos A , B y C .

Si A Í B y A ≠ B , entonces se dice que A está incluido propiamente en B, lo que se anota

como " Ì "

Simbólicamente se escribe:

A Ì B ↔ A Í B Ù A ≠ B

Nótese que:

1. El conjunto vacío Φ es tal que " A( Φ Ë A).

En efecto, para cualquier conjunto A, " x ( x Î Φ → x Î A), es verdadera, ya que, por la lógica proposicional, cualquier proposición que se derive de una que es falsa, hace a la oración completa verdadera y en este caso x Î Φ es falsa, pues el conjunto vacío carece de elementos.

Luego necesariamente Φ Í A.

2. Si B Í Φ, entonces B = Φ

3. Si el conjunto A no está incluido en el conjunto B, anotaremos "A Ë B "

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Definición. Sean A y B conjuntos, se define.

i) La Unión de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A È B = {x : x є A Ú x є B}

ii) La Intersección de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A Ç B = {x : x є A Ù x є B}

iii) La Diferencia de los conjuntos A y B, como el conjunto:

A - B = {x : x є A Ù x Ï B}

Ejemplos:

Considerese los conjuntos

IN = { 1, 2, 3 , 4,. . . } (Números naturales)

P = { x є IN : x = 2n } = { 2, 4, 6, . . . } (Números naturales pares)

A = { 2, 4, 6 , 8 }

B = { 3, 4, 6 , 9 }

Entonces:

A È B = {x : x є A Ú x є B} = { 2, 3, 4, 6 , 8, 9 }. La Unión o Reunión es el conjunto de los elementos que están en A o en B (la disyunción lógica hace referencia a los elementos que estan en A o en el conjunto B).

A Ç B = {x : x є A Ù x є B} = { 4, 6 }. La Intersección es el conjunto de los elementos que están en A y en B (la conjunción lógica hace referencia a los elementos que estan en el conjunto A y en el conjunto B ).

A - B = {x : x є A Ù x Ï B} = { 2 , 8}. La Diferencia es el conjunto de los elementos que están en A pero no en B .

NI È P = IN . Todos los elementos de P están en NI, pues todo número par es número natural.

NI Ç P = P (Los elementos que están al mismo tiempo en ambos conjuntos, son los números pares.

IN - P = { 1, 3 , 5, 7. . . } = { x є IN : x = 2n + 1} . Números naturales impares.

P - IN = Φ .

Nota:

i) En general existe la diferencia de conjuntos A - B, modernamente escrito A \ B, debido a que A - B normalmente se interpreta como todas las diferencias posibles entre los elementos de A y los elementos de B, que claramente es otro conjunto. Sin embargo, cuando A y B no son comparables, tenemos la igualdad A \ B = A \ (A Ç B), lo que se ve más razonable porque restamos de A un subconjunto de A. En el ejemplo P - IN = P - (P Ç IN) = P - P = Φ

ii) "x, x є (A U B) ↔ "x( x є A v x є B )

iii)"x, x є(A Ç B) ↔ "x( x є A Λ x є B )

iv)"x, x є (A - B) ↔ "x( x є A Λ x Ï B)

Algunas propiedades de las operaciones con conjuntos

Sean A, B, C, D conjuntos cualquiera, entonces:

1) A U B = BUA (Conmutatividad)

2)A U A = A (Idempotencia)

3) (A U B) U C = A U (B U C) (Asociatividad)

4) A U Φ = A (Idempotencia)

5)A Í A U B ; B Í A U B

6) (A Í B ) y (C Í D)→ (A U C) Í (B U D)

7) A = AU B ↔ B Ì A

8) AU B = Φ ↔ (A = Φ) y (B = Φ)

9) (A Ç B) = (B Ç A) (Conmutatividad)

10) (A Ç A) = A (Idempotencia)

11) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) (Asociatividad)

12) (A Ç Φ)= Φ

13) (A Ç B) Í A

14) A Í B y C Í D → (A Ç C) Í (B Ç D)

15) A = (A Ç B) ↔ A Í B

16) (A Ç B)U C = (A Ç C) U (B Ç C) (Distributibidad de la Intersección frente a la Unión)

17) (AU B) Ç C = (A Ç C) U (B Ç C) (Distributibidad de la Unión frente a la Intersección)

Conjunto Universal

A menudo se está interesado no en todos los conjuntos posibles, sino únicamente en todos los subconjuntos de algún conjunto fijado con antelación. Así por ejemplo, resulta más cómodo decir, el conjunto de albinos, refiriéndose a todas las personas albinas y no a los ratones albos, etc. (se fijó previamente el conjunto de personas). Cuando se fija un conjunto U, se dice que este conjunto es el Conjunto Universal para los conjuntos a los cuales se desea referir ( es diferente para cada caso).

Definición. Sean A, B conjuntos tales que A Í B. Se define el complemento del conjunto A respecto del conjunto B, denotado por A’B = B - A = {x: x є B Ù x Ï A}

Si en el contexto, el conjunto B siempre es el mismo, se anotará simplemente: A’ = {x: x є X Ù x Ï A}

Leyes de De-Morgan.

i) (A U B)'X = A'X Ç B'X

ii) (A Ç B)'X = A'X U B'X

Par ordenado.

Intuitivamente un par ordenado es simplemente dos objetos dados en un orden determinado. El par ordenado lo denotaremos por (a ,b), donde el objeto "a" es el primer elemento y el objeto "b" es el segundo elemento.

Terna ordenada.

Es el par ordenado ((a,b), c), donde (a,b) es un par ordenado. Se denota por (a,b,c). De ésto, su nombre.

n-tupla ordenada.

Es el par ordenado (((a1,a2),a3)...),an), que se anota simplemente como (a1,a2,...,an). Cada uno de los objetos o elementos de una n-tupla ordenada se llama componente. Es claro que un par ordenado puede considerarse como un caso particular de n-tupla ordenada, tomando n=2.

Observación.

i) Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus dos componentes son iguales. En símbolos:

(a,b) = (c,d) ↔ ( a= c ) Ù (b = d)

ii) También se debe observar que {1,2} = {2,1}, pero (1,2) ≠ (2,1)

Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos. Se define el producto cartesiano de los conjuntos A y B como el conjunto A x B = {(a,b) : a є A Ù b єB}

Ejemplo. Sea A = {1,2} y B = {Juan, Luis}. Entonces AxB = {(1,Juan), (1,Luis),(2,Juan),(2,Luis)}

Relaciones.

A menudo, en contextos ordinarios se habla de relaciones que se estima existen entre dos cosas. Así por ejemplo, se dice que Juan está en la relación de padre a hijo con Luis, con lo cual se quiere decir que Juan es padre de Luis.

Por lo general se usan letras mayúsculas para designar las relaciones. Así por ejemplo, se puede introducir la letra P para la relación de Padre y escribir (Juan) P (Luis), para indicar que Juan es padre de Luis.

Al usar una relación que es válida para tres o más cosas, es conveniente poner la letra que representa la relación y a continuación los nombres de esas cosas, en el orden vigente entre ellas , en que esa relación es válida. Asi de esta modo, se puede hablar de la relación "pagar dinero" P tal que para todo x, y, z, P(x,y,z) se puede interpretar como "el individuo x pagará y pesos a la persona z", así por ejemplo, en particular, P(Roberto, 800,Juan) se interpreta como "Roberto pagará 800 pesos a Juan".

Observación. En el lenguaje de Primer Orden, las relaciones son los predicados.

Relaciones binarias.

Una relación binaria R es un subconjunto de pares ordenados obtenidos de dos conjuntos dados A y B, es decir R Í AxB.

Puesto que una relación binaria es un conjunto de pares ordenados, se puede usar también la notación "є" para indicar que ciertos objetos estan en una relación dada. De esta manera, si H es la relación "ser hermano" se puede escribir (Luis, Juan) є H, en vez de (Luis) H (Juan) o , H(Juan, Luis).

Dominio de una relación.

Sea R Í AxB una relación dada, se define el dominio de esta relación, como el conjunto:

Dom(R) = {x: $ y, y є B Ù (x,y) є R}

Ejemplo: Sean

A = {1, 2,3,4,5,6}

B = {a,b,c,d,e}

y R= {(1,a),(2,b),(3,a),(4,c)},

donde R Í AxB

Entonces, Dom (R) = {1,2,3,4},

Obsérvese que R tiene cuatro elementos (pares ordenados) y el producto cartesiano entre A y B tiene treinta pares ordenados como elementos.

Contradominio o Recorrido.

Sea R Í AxB una relación dada, se define el contradominio de esta relación, como el conjunto:

C(R) = {y : $x, x є A Ù (x,y) є R}

Ejemplo.

Sean, como en el ejemplo anterior:

A = {1, 2,3,4,5,6}

B = {a,b,c,d,e}

y R= {(1,a),(2,b),(3,a),(4,c)}, donde ,R Í AxB,

entonces, C(R) = {a,b,c}

Algunos ejercicios propuestos.

1. Escribir tres oraciones declarativas en español junto con sus traslaciones al lenguaje del cálculo proposional.

2. Traslade al cálculo proposicional las siguientes oraciones:

i) Si la hierba es verde y la nieve blanca, entonces la niebe es blanca.

ii) Juan debe rendir testimonio y decir la verdad o no tiene que rendir testimonio.

iii) Los estudiantes estarán contentos si y solamente si no hay examen. Si los estudiantes estarán contentos, el profesor se sentirá feliz. Pero si el profesor se siente feliz, no estará en condiciones de explicar y, si no está en condiciones de explicar, habrá examen. Por lo tanto los estudiantes no estarán contentos.

3. Determine por medio de las tablas de verdad, cuáles de las siguientes oraciones son tautologías, contingencias o contradicciones:

a) p v ~p , b) p Λ q → q Λ p , c) p → (p v q) Λ r ,

d) p → (q → (q → p)) , e) p Λ q → ((p Λ ~p) → (q v ~q))

4. Simbolizar los siguientes enunciados utilizando como universo "U", el conjunto de todas las montañas y los siguientes predicados:

A: es más alto que , B: está en Bolivia ;

C: está en Chile , P: está en Perú

a) Alguna montaña de Chile es más alta que cualquier montaña de Bolivia o Perú

b) El Aconcagua que está en Chile, es más alto que cualquier montaña de Bolivia y Perú

c) Para cualquier montaña en Perú, hay al menso dos montañas más altas en Chile.

5) Dado el conjunto A = {1, {1}, {1, {1,}}, 2. } . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta y por qué?

a) { 1 } Ï A , b) { 1 } Í A , c) { 1 , 2} є A, d) { 1, { 1 }} Í A ,

e) Φ є A , f) Φ Í A

6) Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas parea cualquiera que sean los conjuntos A, B y C. En caso de ser incorrectas encuentre un contraejemplo.

a) (A Ï B) y (B Ï C) →(A Ï C )

b) (A ≠ B) y (B ≠ C) → (A ≠ C)

c) (A є B) y (A Ë B) → (A Ï C)

d) (A Ì B) y (B Í C) → (C Ï A )

e) (A Í B) y ( B є C) → (A Ï C)

7) Determie los siguientes conjuntos:

a) Φ Ç {Φ} , b) {Φ} Ç {Φ}, c) { Φ , {Φ}} - Φ

d) { Φ , {Φ}} -{ Φ} , e) c) { Φ , {Φ}} -{{ Φ }}

8) Siendo A un conjunto cualquiera, determine los siguientes conjuntos:

a) A Ç Φ , b) A U Φ , c) A - Φ , c) A - A , d) Φ - A

9) Usando ejemplos verifique las propiedades de las operaciones de conjuntos dadas en el apartado correspondiente.

10) Investigue si es o no posible encontrar tres subconjuntos, A, B y C de un conjunto universal U tales que verifiquen la afirmación:

a) C ≠ Φ , b) A Ç B ≠ Φ , c) A Ç C = Φ

d) A Ç B ≠ Φ , e) A Ç B - C = Φ

11) Escriba los elementos del conjunto {1,2} X {2,3,4} (Producto cartesiano) y encuentre el dominio y contradominioo de esta relación.

12) Encuentre un contraejemplo para la siguiente afirmación:

(A U B) X (C U D) = (A X C) U (B X D)

13) Sea "H" la relación "es hermano de" y "S" la relación " es hermana de". Encuentre y describa las relaciónes "H U S" y "H - S"

14) Sean:

A = {1,2} ; B = Φ ; B = { Φ} ; S = ( Φ,1), (Φ,2) } ; R = {(1,2), (2, Φ) }

a) ¿Es R un subconjunto del producto cartesiano A X B?

b) ¿Es C(R) un subconjunto de A?

c) ¿ Es R Ç S un subconjunto de R? ¿De S?

d) ¿Es R - S un subconjunto de R? ¿De S?

Juistifique cada una de sus respuestas a las interrogantes indicadas.

Continúa...